Beden eğitimi dersinde öğretmen dört arkadaşa, Ali, Bora, Can ve Deniz’e, “Kendinizi iki takıma ayırın” diyor. Her takımda en az bir kişi olacak. Kaç farklı şekilde ayrılabilirler?
Bu soru ilk bakışta kolay görünür, ama öğrencilerin çoğu ya bazı durumları unutur ya da aynı ayrımı iki kez sayar. Gruplama problemleri, matematik yarışmalarında “sistemli sayma” becerisini ölçen en iyi soru tiplerinden biridir.
Önce sistemli sayalım
Takımların ismi yok; yani “Ali–Bora ile Can–Deniz” ayrımı ile “Can–Deniz ile Ali–Bora” aynı ayrımdır. Ayrımları takımlardaki kişi sayısına göre iki gruba bölelim:
1 kişi + 3 kişi: Yalnız kalan kişi Ali, Bora, Can ya da Deniz olabilir. 4 yol.
2 kişi + 2 kişi: Ali’nin takım arkadaşını seçmek yeterlidir; Bora, Can ya da Deniz olabilir. Geriye kalan iki kişi zaten öteki takımdır. 3 yol.
Toplam: 4 + 3 = 7 farklı yol.
Ali’nin arkadaşını seçerek saymak önemli bir püf noktasıdır. “Önce iki kişiyi seç” diye başlarsak 6 farklı ikili buluruz; ama Ali–Bora’yı seçmek ile Can–Deniz’i seçmek aynı ayrımı verir. Böylece 2 + 2 ayrımlarını 3 yerine 6 kez saymış oluruz.
Takımların ismi olursa ne değişir?
Şimdi takımlar “Kırmızı” ve “Mavi” olsun. Artık “Ali Kırmızı’da, diğerleri Mavi’de” ile “Ali Mavi’de, diğerleri Kırmızı’da” farklı durumlardır. Her isimsiz ayrım iki farklı isimli ayrıma dönüşür: 7 × 2 = 14 yol.
Bunu başka bir yolla da kontrol edebiliriz: Her kişi Kırmızı ya da Mavi olmak üzere 2 seçeneğe sahiptir; 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Bunlardan herkesin aynı takımda olduğu 2 durumu çıkarınca (hepsi Kırmızı, hepsi Mavi) 16 − 2 = 14 kalır. İki farklı yoldan aynı sonuca ulaşmak, sayımın doğru olduğunun en iyi kanıtıdır.
Bu sayıların bir adı var: Stirling sayıları
Matematik Dünyası dergisinin Şubat 2002 sayısında Halil Oruç, “İkinci Çeşit Stirling Sayıları” başlıklı yazısında bu sayıları tanıtır. n elemanlı bir kümeyi, boş olmayan ve isimsiz k gruba ayırmanın yollarının sayısı S(n, k) ile gösterilir. Dört arkadaşın iki takıma ayrılması örneğinde S(4, 2) = 7’dir.
Oruç’un yazısında bu sayıların bir tablosu ve tabloyu kuran kural da yer alır. Kural şu fikre dayanır: Yeni bir kişi (örneğin beşinci arkadaş Ece) geldiğinde, Ece ya tek başına yeni bir grup kurar ya da var olan k gruptan birine katılır.
S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + k × S(n − 1, k)
| n \ k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 7 | 6 | 1 | |
| 5 | 1 | 15 | 25 | 10 | 1 |
Örneğin S(5, 3) = S(4, 2) + 3 × S(4, 3) = 7 + 3 × 6 = 25. Beş arkadaş, isimsiz üç gruba 25 farklı yolla ayrılabilir.
Kendin dene
- (6. sınıf) Üç arkadaş, Ali, Bora ve Can, iki isimsiz gruba kaç yolla ayrılır? Hepsini yazın. (Cevap: 3. Yalnız kalan kişiyi seçmek yeterli.)
- (7. sınıf) Dört arkadaş, her grupta en az bir kişi olmak üzere üç isimsiz gruba kaç yolla ayrılır? (Cevap: 6. Gruplardan biri 2 kişilik, diğerleri 1 kişilik olmak zorunda; 2 kişilik grubu seçmenin 6 yolu var.)
- (8. sınıf) Beş arkadaş “Kırmızı” ve “Mavi” adlı iki takıma, her takımda en az bir kişi olmak üzere kaç yolla ayrılır? (Cevap: 2⁵ − 2 = 30. Kontrol: Tablodaki S(5, 2) = 15, iki isimle 15 × 2 = 30.)
Bu problemler yarışmada neden önemli?
UMATYA (Ulusal Matematik Yarışması), 2019'dan bu yana düzenlenen; 2–8. sınıf öğrencileri için MEB öğretim programıyla uyumlu, Keşif, Yarı Final ve Türkiye Finali olmak üzere üç aşamalı ulusal bir matematik yarışmasıdır.
Sayma problemlerinde formül bilmekten çok, durumları eksiksiz ve tekrarsız listeleyebilmek önemlidir. Bir durumu unutmak ya da iki kez saymak yarışmalarda en sık yapılan hatadır. Bu tür soruları çözerken öğrencilerin kendilerine şu iki soruyu sormaları yararlıdır: “Hepsini saydım mı?” ve “Bir şeyi iki kez saydım mı?” Benzer sorular için UMATYA örnek sorularına, sezgimizin bizi yanıltabildiği problemler için sağduyuyu sınayan problemler yazımıza, terimler için matematik yarışması sözlüğümüze göz atabilirsiniz.
Sistemli sayma sorularını UMATYA örnek sorularında da deneyebilirsiniz.
Sık Sorulan Sorular
4 kişi 2 takıma kaç farklı yolla ayrılır?
Takımların ismi yoksa ve her takımda en az bir kişi varsa 7 farklı yolla ayrılır: 4 tanesi 1’e 3, 3 tanesi 2’ye 2 ayrımdır. Takımların ismi varsa 14 yol vardır.
İkinci çeşit Stirling sayıları nedir?
S(n, k) ile gösterilen ikinci çeşit Stirling sayıları, n elemanlı bir kümenin boş olmayan ve isimsiz k gruba kaç farklı şekilde ayrılabileceğini gösterir.
Gruplama problemlerinde en sık yapılan hata nedir?
Aynı ayrımı iki kez saymak ya da bazı durumları unutmaktır. Takımların isimli mi isimsiz mi olduğuna dikkat etmek bu hatayı önler.
Bu konu hangi sınıflara uygun?
Sistemli sayma ve küçük gruplama problemleri 6–8. sınıflara uygundur. Stirling sayıları tablosu 8. sınıf öğrencileri için ilgi çekici bir genelleme sunar.
Kaynakça
- Oruç, H., “İkinci Çeşit Stirling Sayıları”, Matematik Dünyası, Türk Matematik Derneği, Şubat 2002, Cilt 11, Sayı 1, s. 8–13.
- Ulusal Matematik Yarışması (UMATYA) Şartnamesi, umatya.com/yarisma-sartnamesi.
