Mutfakta tanıdık bir sahne: Masada tek bir dilim ekmek var, üzerine tereyağı sürülmüş. Karşısında iki kardeş. Anne bıçağı alıp ortadan kesiyor. Daha tabak masaya değmeden itiraz geliyor: “Onunki daha büyük!”
Bu kavganın matematiksel bir çözümü var: Biri böler, öteki seçer. Kardeşlerden biri ekmeği istediği gibi ikiye keser, diğeri parçalardan birini seçer. Kesen kişi küçük parçaya razı olmamak için olabildiğince eşit keser; seçen kişi ise zaten beğendiğini alır. Sonunda kimsenin şikâyet edecek bir şeyi kalmaz.
Bu hikâye nereden geliyor?
Türk Matematik Derneği’nin yayımladığı Matematik Dünyası dergisinin Şubat 2002 sayısında Rafail Alizade, Sedaget Mürvetova ve Halide Sadıgova, “Ekmeküstü Margarin Problemi ve Ara Değer Teoremi” başlıklı esprili bir yazı yayımladı. Yazıda Temel ile İdris adlı iki kardeş, margarin sürülmüş bir Trabzon ekmeğini paylaşamaz. Ekmeği tam ortadan kesince margarin eşit dağılmaz; margarini eşit bölünce ekmek eşit olmaz.
Babaları soruyu matematikçilere götürür. Matematikçiler hem ekmeği hem margarini aynı anda tam ikiye bölen bir kesimin her zaman var olduğunu gösterir. Ama bu kanıt, kesimin nereden yapılacağını söylemez. Hikâyenin sonunda sorunu Nasreddin Hoca çözer: Bıçağı kardeşlerden birine verir, ekmeği ona böldürür, seçimi diğerine bırakır.
Yazı bilerek şakacı bir dille yazılmıştır; içindeki tarihî ayrıntılar kurgudur. Ama anlattığı matematik gerçektir ve çocuklarla konuşmak için harika bir başlangıçtır.
Bu problem çocuğa ne öğretir?
- Yarım kavramını hayata bağlar. “Yarısı” kelimesi bir kesir değil, bir adalet meselesi olarak anlam kazanır.
- Strateji düşünmeyi başlatır. Kesen çocuk “Ben olsam hangi parçayı seçerdim?” diye karşısındakinin yerine geçmek zorundadır. Matematik yarışmalarında sık karşılaşılan “en kötü durumu düşün” fikrinin ilk adımıdır bu.
- “Var olmak” ile “bulmak” arasındaki farkı gösterir. Bir çözümün var olduğunu bilmek başka, onu bulmak başka şeydir.
Evde ya da sınıfta deneyin: üç seviyede etkinlik
2. sınıf: Kurabiyeler
Masaya 12 kurabiye koyun. Bir çocuk kurabiyeleri iki tabağa ayırsın, diğeri tabaklardan birini seçsin. Ardından rolleri değiştirin ve sorun: “Kurabiyeleri ayıran sen olsaydın, kaçar kaçar koyardın? Neden?” Çocuk, 6 ve 6 dışındaki her ayrımın kendisi için risk olduğunu kendi başına fark eder.
3. sınıf: Pasta dilimleri
“Ayşe 10 dilimlik bir pastayı iki tabağa ayırdı. Tabaklardan birinde diğerinden 2 dilim fazla var. Önce sen seçeceksen hangi tabağı alırsın, kaç dilim yersin?” Cevap: Tabaklarda 6 ve 4 dilim vardır; büyük tabağı seçen 6 dilim yer. Çocukların tahmin etmek yerine toplamı ve farkı birlikte kullanmasını isteyin.
4. sınıf: Kayan bıçak
Kâğıttan, yamuk biçiminde bir “ekmek” kesin. Bir cetveli bıçak gibi kullanıp soldan sağa doğru yavaşça kaydırın ve sorun: “Cetvel en soldayken soldaki parça ne kadar? En sağdayken? Arada iki parçanın tam eşit olduğu bir an var mı?” Çocuklar, soldaki parçanın hiç yoktan bütüne kadar yavaş yavaş büyüdüğünü, bu yüzden bir yerde mutlaka yarıya eşit olması gerektiğini görür. Matematikçilerin “Ara Değer Teoremi” dediği fikir özünde budur.
Peki üç kişi olunca?
İki kişi için “biri böler, öteki seçer” yeterlidir. Masaya üçüncü bir kardeş gelince iş zorlaşır; akla ilk gelen yöntemlerin çoğu birini mutsuz bırakır. Matematikçiler bu soru için daha karmaşık yöntemler geliştirmiştir. 4. sınıf öğrencilerine bunu bir meydan okuma olarak bırakmak, onları hafta sonu boyunca meşgul edebilir.
Bunun matematik yarışmalarıyla ne ilgisi var?
UMATYA (Ulusal Matematik Yarışması), 2019'dan bu yana düzenlenen; 2–8. sınıf öğrencileri için MEB öğretim programıyla uyumlu, Keşif, Yarı Final ve Türkiye Finali olmak üzere üç aşamalı ulusal bir matematik yarışmasıdır.
Nitelikli yarışma soruları, tıpkı bu ekmek problemi gibi, işlemi bir durumun içine yerleştirir. Çocuk önce durumu anlamak, sonra hangi işlemi neden yapacağına karar vermek zorundadır. Küçük yaşta bu tür problemlerle tanışan öğrenci, soruyu bir kalıba uydurmaya değil düşünmeye alışır. 2–4. sınıf düzeyinde soruların nasıl kurulduğunu görmek için UMATYA örnek sorularına, sınıf sınıf hazırlık önerileri için 2. sınıftan 8. sınıfa hazırlık rehberimize göz atabilirsiniz.
Bir dahaki sefere mutfakta “Onunki daha büyük!” sesi yükseldiğinde bıçağı kendiniz almayın. Birine verin, seçimi ötekine bırakın. Matematik kendiliğinden devreye girecektir.
Her sınıf düzeyine uygun soru örneklerini UMATYA örnek sorularında bulabilirsiniz.
Sık Sorulan Sorular
“Biri böler, öteki seçer” yöntemi nedir?
İki kişinin bir şeyi adil paylaşması için kullanılan yöntemdir. Biri bölüştürür, diğeri parçalardan birini seçer. Bölen kişi eşit bölmeye çalıştığı için iki taraf da sonuçtan memnun kalır.
Bu etkinlik hangi sınıflara uygun?
Kurabiye ve pasta etkinlikleri 2 ve 3. sınıflara, kayan bıçak etkinliği 4. sınıfa uygundur. Ortaokul öğrencileri üç kişilik paylaşım sorusunu tartışabilir.
Ara Değer Teoremi basitçe nedir?
Bir büyüklük kesintisiz biçimde bir değerden başka bir değere değişiyorsa, aradaki her değerden mutlaka geçer. Soldan sağa kaydırılan bıçağın bir yerde ekmeği tam ikiye bölmesi bu fikre dayanır.
Yöntem üç kişi için de işe yarar mı?
Bu basit hâliyle hayır. Üç ve daha fazla kişi için matematikçiler daha karmaşık adil paylaşım yöntemleri geliştirmiştir.
Kaynakça
- Alizade, R., Mürvetova, S. ve Sadıgova, H., “Ekmeküstü Margarin Problemi ve Ara Değer Teoremi”, Matematik Dünyası, Türk Matematik Derneği, Şubat 2002, Cilt 11, Sayı 1, s. 2–7.
- Ulusal Matematik Yarışması (UMATYA) Şartnamesi, umatya.com/yarisma-sartnamesi.
