Bir karnabaharı ikiye bölün. Ayırdığınız küçük parça, bütün karnabaharın küçültülmüş bir kopyası gibi görünür. O parçayı da bölün, yine aynı şekli görürsünüz. Ağaç dalları, eğreltiotu yaprakları, kıyı şeritleri de böyledir. Matematikçiler bu tür şekillere fraktal der.
Matematik Dünyası dergisinin Şubat 2002 sayısında Ünal Ufuktepe ve İsmail Aslan, “Fraktal Geometriden Bir Kesit” başlıklı yazılarında bu alanı anlatır. Fraktal kelimesini yaygınlaştıran Benoit Mandelbrot’tur; ama yazarların hatırlattığı gibi, ondan çok önce Koch eğrisi (1904) ve Sierpinski üçgeni (1915) gibi örnekler zaten biliniyordu. Bu yazıda bu iki örneği, sınıfta kâğıt ve kalemle yapılabilecek bir etkinliğe dönüştürüyoruz.
Fraktal nedir?
Fraktal, parçaları bütününe benzeyen ve aynı kuralın tekrar tekrar uygulanmasıyla oluşan şekildir. Bu benzerliğe “öz benzerlik” denir. Okulda gördüğümüz kare, üçgen ve çember gibi şekillere yaklaştıkça şekil düzleşir; fraktala ne kadar yaklaşırsak yaklaşalım, aynı girinti çıkıntılar karşımıza çıkmaya devam eder.
Etkinlik 1: Koch kar tanesi (5–7. sınıf)
Malzeme: İzometrik (üçgen noktalı) kâğıt ya da düz kâğıt, cetvel, kalem, renkli kalemler.
- Adım 0: Kenarı 9 cm olan bir eşkenar üçgen çizin.
- Adım 1: Her kenarı üç eşit parçaya (3’er cm) bölün. Ortadaki parçanın üzerine, dışarıya bakan küçük bir eşkenar üçgen çizin ve ortadaki parçayı silin. Şekil artık altı köşeli bir yıldızdır.
- Adım 2: Yıldızın her kenarına (1’er cm) aynı işlemi uygulayın.
- Adım 3: Cesaretiniz varsa bir kez daha deneyin. Çizim zorlaşır; bu noktada öğrenciler “sonsuza kadar devam etseydik ne olurdu?” diye sormaya başlar.
Şimdi her adımda kenar sayısını, bir kenarın uzunluğunu ve çevreyi tabloya yazın:
| Adım | Kenar sayısı | Bir kenarın uzunluğu | Çevre |
|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 9 cm | 27 cm |
| 1 | 12 | 3 cm | 36 cm |
| 2 | 48 | 1 cm | 48 cm |
| 3 | 192 | 1/3 cm | 64 cm |
Sorular:
- Kenar sayısı her adımda kaç katına çıkıyor? (Cevap: 4 katına.)
- Çevre her adımda nasıl değişiyor? (Cevap: 4/3 katına çıkıyor: 27, 36, 48, 64…)
- Bu böyle sonsuza kadar devam ederse çevre ne olur? (Cevap: Sınırsız büyür.)
- Peki şeklin kapladığı alan da sınırsız büyür mü? Kar tanesinin çevresine bir çember çizin ve tartışın. (Cevap: Hayır. Şekil hep o çemberin içinde kalır, yani alanı sınırlıdır.)
Sonsuz uzunlukta bir çevrenin sınırlı bir alanı çevrelemesi, öğrencilerin çoğu için ilk kez karşılaştıkları şaşırtıcı bir fikirdir. Matematiksel merakın tam da başladığı yer burasıdır.
Etkinlik 2: Sierpinski üçgeni (6–8. sınıf)
- Büyük bir eşkenar üçgen çizin ve içini boyayın.
- Kenarların orta noktalarını birleştirin. Ortada ters duran üçgeni silin (boyasız bırakın). Geriye 3 boyalı üçgen kalır.
- Kalan her boyalı üçgene aynı işlemi uygulayın.
| Adım | Boyalı üçgen sayısı | Boyalı alanın tamamına oranı |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 3 | 3/4 |
| 2 | 9 | 9/16 |
| 3 | 27 | 27/64 |
Öğrencilerden örüntüyü bulmalarını isteyin: Üçgen sayısı her adımda 3 katına çıkarken boyalı alan her adımda 3/4’üne iner. Üçgenler çoğaldıkça boyalı alan küçülür; sonsuz adımda boyalı alan sıfıra yaklaşır. Üslü sayılar ve kesirlerle çarpma için bundan daha görsel bir alıştırma bulmak zor.
Biraz daha ileri: Kesirli boyut
Bir doğru 1 boyutlu, bir kare 2 boyutludur. Ufuktepe ve Aslan’ın yazısına göre Koch eğrisinin boyutu ise yaklaşık 1,26’dır; yani bir çizgiden fazla, bir yüzeyden az. Bu fikri ortaokul düzeyinde kanıtlamak mümkün değil, ama 8. sınıf öğrencilerine “Bir şeklin boyutu 1 ile 2 arasında olabilir mi?” sorusunu sormak, matematiğin hâlâ şaşırtabildiğini göstermek için yeterlidir.
Matematik yarışmalarıyla bağlantısı
UMATYA (Ulusal Matematik Yarışması), 2019'dan bu yana düzenlenen; 2–8. sınıf öğrencileri için MEB öğretim programıyla uyumlu, Keşif, Yarı Final ve Türkiye Finali olmak üzere üç aşamalı ulusal bir matematik yarışmasıdır.
Yarışma sorularında öğrencilerden sık sık bir örüntünün sonraki adımını bulmaları istenir. Fraktal etkinlikleri örüntüyü tabloya dökme, kuralı bulma ve genelleme becerisini somut bir çizimle çalıştırır. Örüntü sorularının yarışmada nasıl sorulduğunu görmek için UMATYA örnek sorularına, yarışma sorularının genel yapısı için yarışma ile olimpiyat arasındaki farklar yazımıza, sınıfta yapılabilecek başka bir etkinlik için ekmeği adil bölme yazımıza bakabilirsiniz.
Örüntü ve genelleme becerisinin yarışma sorularında nasıl sorulduğunu UMATYA örnek sorularında görebilirsiniz.
Sık Sorulan Sorular
Fraktal nedir?
Fraktal, parçaları bütününe benzeyen ve aynı kuralın tekrar tekrar uygulanmasıyla oluşan şekildir. Koch kar tanesi ve Sierpinski üçgeni en bilinen örneklerdir.
Koch kar tanesinin çevresi neden sürekli büyür?
Her adımda kenar sayısı 4 katına çıkarken kenar uzunluğu 3’te birine iner. Bu yüzden çevre her adımda 4/3 katına çıkar ve sınırsız büyür.
Fraktal etkinliği hangi sınıflara uygun?
Koch kar tanesi etkinliği 5–7. sınıflara, Sierpinski üçgeni etkinliği 6–8. sınıflara uygundur.
Doğada fraktal örnekleri var mı?
Evet. Karnabahar, eğreltiotu yaprakları, ağaç dalları ve kıyı şeritleri fraktallara benzeyen öz benzer yapılar gösterir.
Kaynakça
- Ufuktepe, Ü. ve Aslan, İ., “Fraktal Geometriden Bir Kesit”, Matematik Dünyası, Türk Matematik Derneği, Şubat 2002, Cilt 11, Sayı 1, s. 14–19.
- Ulusal Matematik Yarışması (UMATYA) Şartnamesi, umatya.com/yarisma-sartnamesi.
